Vacuum pressure

• [1] The Refractivity of Air, B. Edlen, Metrologia 2, 71-80 (1966)
• [2] An Updated Edlén Equation for the Refractive Index of Air, K. P. Birch and M. J. Downs, Metrologia 30, 155 (1993) → [für Sr-Clock-Laser-Wellenlänge]
• [3] Correction to the Updated Edlén Equation for the Refractive Index of Air, K. P. Birch and M. J. Downs, Metrologia 31, 315 (1994) → [für 1.5mum-Wellenlänge]
• [4] https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0026-1394/2/2/002/pdf
• [5] https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0026-1394/30/3/004/pdf

• Vakuumdruckschwankungen verändern die optische Weglänge zwischen den Spiegeln, was wiederrum zur Frequenzänderung und Verschlechterung der Laserstabilität führt
• Phasengeschwindigkeit mit Wellenlänge \lambda und Frequenz f:

$$\nu_{g}=\lambda\cdot f$$

• Brechungsindex ist für jede Frequenz unterschiedlich!
• Brechungsindex mit Phasengeschwindigkeit \nu_{g} (oder auch Lichtgeschwindigkeit im Medium c) und der Lichtgeschwindigkeit c_{0} im Vakuum:

$$n=\frac{c_{0}}{c}=\frac{c_{0}}{\nu_{g}}=\frac{c_{0}}{\lambda\cdot f} <=> \nu_{g}=c_{0}\cdot n$$

• Der Brechungsindex hängt von der Wellenlänge lambda ab:

$$n(\lambda)=???$$

• Optische Weglänge zwischen den Spiegeln: L_Geo
• Geometrische Weglänge zwischen den Spiegeln: L_Opt

$$L_{Opt}=n\cdot L_{Geo}=\frac{c_{0}}{\lambda\cdot f}\cdot L_{Geo}$$

• Freier Spektralbereich:

$$FSR=\frac{c_{0}}{2\cdot L_{Opt}}=\frac{c_{0}}{n\cdot 2\cdot L_{Geo}}=\frac{n\cdot \nu_{g}}{n\cdot 2\cdot L_{Geo}}=\frac{\nu_{g}}{2\cdot L_{Geo}}$$

• Der Brechungsindex hängt von dem herrschenden Drucks p im Vakuum ab mit einem idealen Brechungsindex im Vakuum von $$n_{p=0}=1$$

$$n(p)=n_{p=0} + \frac{\Delta n}{\Delta p}\cdot p = 1+\frac{\Delta n}{\Delta p}\cdot p <=> n(p)-1=\frac{\Delta n}{\Delta p}\cdot p=\frac{n_{Atmosphäre}-n_{p=0}}{p_{Atmosphäre}-p_{vac}}\cdot p=D\cdot p$$

• Es gilt $$p_{Atmosphäre}-p_{vac}=1 bar$$
• Verändert sich der Luftdruck/Vakuumdruck, so wird der Brechungsindex verändert beziehungsweise die Phasengeschwindigkeit:
• Zusammenhang Druck im Vakuum und Frequenz:

Falsch: $$n(p)=n ⇔ \frac{c_{0}}{\nu_{g}}=D\cdot p+1 ⇔ \nu_{g}=\frac{c_{0}}{D\cdot p+1}$$

• Für eine Wellenlänge von lambda=1.5*10^(-6)m erhält man D=2.7*10^(-7)/mbar nach [3] oder über die Seite Refractive Index of Air Calculator:

$$n-1=D\cdot p=2.7\cdot 10^{-7}/mbar \cdot p$$ → $$\frac{\Delta\nu}{\nu}=D\cdot\Delta p=2.7\cdot 10^{-7}/mbar\cdot\Delta p$$

• Fundamentales Limit des Resonators liegt bei ~3*10^(-17)

→ $$\frac{\Delta\nu}{\nu}=3\cdot 10^{-17}>2.7\cdot 10^{-7}/mbar\cdot\Delta p$$ → $$\Delta p<1.11\cdot 10^{-10}mbar$$

• Verunreinigungen
  • Öl und Fett durch Bearbeitung
• Leistungsschwankungen der Ion-Getter-Pumpen
• Leckrate ist ein Gasfluss, dieser durch Undichtigkeit in das Vakuumsystem einströmt
• Ausgasung von den Oberflächen (=Desorption)
  • Desorption bezeichnet den Vorgang, bei dem Atome & Moleküle die Oberfläche eines Festkörpers verlassen.
  • Außer Wasser können auch noch andere Stoffe (Öl) an Oberflächen adsorbiert werden. Es diffundieren ebenfalls Stoffe aus den Metallwänden heraus, die man im Restgas nachweisen kann.
  • Bei Betrieb unterhalb 10^-6 mbar erhält die Desorption von Kunststoffoberflächen: Insbesondere bei Dichtungen, größere Bedeutung. Kunststoffe geben hauptsächlich die in ihnen gelösten Gase ab, die zunächst an die Oberfläche diffundieren müssen. Nach längeren Abpumpzeiten kann daher die Desorption aus Kunststoffen über die der Metalloberflächen dominieren. Die Oberfläche der Dichtungen ist verhältnismäßig klein, die zeitliche Abnahme der Desorptionsrate ist jedoch langsamer als bei Metalloberflächen. Näherungsweise kann davon ausgegangen werden, dass die zeitliche Abnahme mit der Wurzel aus der Zeit erfolgt.
  • Temperaturschwankungen am Resonator beziehungsweise der Wärmeschilde können in Abhängigkeit der Tempertur zu exponentiellabhängigen Ausgasraten der Oberflächen führen
    • Kondensieren und Verdampfen von zum Beispiel Wasser
• Permeation, dieser Prozess ist erst ab einem Druck von 10^-8mbar bemerkbar. Er beschreibt, dass kleine Gasmoleküle, wie zum Beispiel Helium, durch Diffusion Dichtungen und Metallwände durchdrängen können. Er ist zeitunabhängig und führt konstant zu einer Erhöhung des Enddrucks.

• Das Verhältnis zwischen der Pumpe und allen Effekten, die den Vakuumdruck erhöhen (Leck, Desorption, Permeation, etc.) und dem Vakuumsystem (Aufbau, Röhren, Blenden, etc.).

• Vakuum Technology, Know How von Pfeiffer Vacuum (08.02.2018)
• Grundlagen der Vakuumtechnik von Dr. Walter Umrath (08.02.2018)
• Wutz Handbuch Vakuumtechnik, Springer Verlag

• Druck: p [mbar]
• Volumen: V [m^3]
• Zeit: t

• Teilt man die allgemeine Gasgleichung durch die Zeit t, so kommt man auf den Gasstrom q_pV:

$$q_{pV}=\frac{p\cdot V}{t}$$

• Für den Gesamtdruck p_Ges gilt das Gesetz von Dalton:

$$p_{Ges}=\sum_{i=1}^np_i$$

• Saugleistung der Pumpe, diese ein konstantes Saugvermögen hat, fördert ein konstanten Volumenstrom: S

$$S=\frac{dV}{dt}$$

• Wird das Saugvermögen mit dem Eingangsdruck multipliziert, so erhählt man die Saugleistung einer Pumpe. Die Saugleistung gibt den transportierten Gasstrom einer Vakuumpumpe an:

$$q_{pV}=S\cdot p=\frac{dV}{dt}\cdot p$$

• Die mittlere freie Weglänge ist die mittlere Wegstrecke I^Dach, die ein Teilchen zwischen zwei aufeinander folgdenen Stößen mit anderen teilchen zurücklegt.
  • Molelüldurchmesser: d_m
  • Temperatur: T
  • Botzmannkonstante: k

$$\overline{I}\cdot p=\frac{k\cdot T}{\pi\sqrt{2}\cdot d_m^2}$$

• Sie gibt die verschiedenen Strömungsarten des Gases im Vakuum an:
  • Kontinuumströmung: K_n<0,01 → Grobvakuum (p=10^3-10^0 mbar, mit I^Dach⇐d)
  • Knudsenströmung: 0,01<K_n<0,5 → Feinvakuum (p=10^0-10^(-3) mbar, mit I^Dach⇐d)
  • Molekulare Strömung: K_n>0,5→ Hochhochvakuum (p=10^(-3)-10^(-7) mbar, mit I^Dach>d) und Ultrahochvakuum (p<10^(-7) mbar, mit I^Dach»d)
• mit der Knudsenzahl: K_n
  • Durchmesser der Blende: d

$$K_n=\frac{\overline{I}}{d}$$

• Für Knudsenzahlen über o,5 gibt es keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen untereindere. Es herscht Molekularströmung.

• Mittlere Teilchengeschwindigkeit: v^Dach
• Masse der Atome/Moleküle: m_T
• Temperatur: T

$$\overline{v}=\sqrt{\frac{8}{\pi}\cdot\frac{k\cdot T}{m_T}}$$

• Durch äußerer Reibung (Gasteilchen mit Wandflächen) und innerer Reibung (Gasteilchen mit Gasteilchen) kommt es zu Strömungswiderstände R. Diese Strömungswiderstände führen zu Druckunterschiede und Saugvermögenverlusten.
• Durch den Gasstrom durch eine Leitung ergibt sich eine Druckdifferenz \Deltap zwischen den den Leitungsenden:
  • Druck am Eintritt der Rohrleitung: p1
  • Druck am Ausgang der Rohrleitung: p2

$$q_{pV}=C\cdot \Delta p <=> C=\frac{q_{pV}}{\Delta p}=\frac{q_{pV}}{p_1-p_2}$$

• Normalerweise benutzt man anstatt des Strömungswiderstandes R deren Kerhrwert: C [l/s] oder [m^3/h]

$$C=\frac{1}{R}$$

• Bei einer Parallelschaltung von Vakuumkomponenten addieren sich die einzelnen Leitwerte:

$$C_{Ges}=\sum_{i=1}^{n=Ges}C_i$$

• Bei einer Reihenschaltung addieren sich ihre Kehrwerte:

$$\frac{1}{C_{Ges}}=\sum_{i=1}^{n=Ges}\frac{1}{C_{i}}$$

• Blendenleitwert C_b mit einer Öffnungsfläche der Blende von A_b:

$$C_{b}=\frac{\overline{v}}{4}\cdot A_{b}$$

• Blendendurchfluss:

$$q_{pV}=\frac{\overline{v}}{4}\cdot A_{b}\cdot \Delta p$$

• Charakteristische Strömungsleitwert C_k mit den Blendenleitwert einer Eintrittsöffnung: C_b

$$C_{k}=C_{b}\cdot P_{k}=\frac{\overline{v}}{4}\cdot A_{b}\cdot P_k$$

• Durchlaufwahrscheinlichkeit eines beliebigen Rohres: P_k
• Länge des Rohres: l
• Durchmesser des Rohres: d

$$P_{k}=\frac{14+4\cdot \frac{l}{d}}{14+18\cdot\frac{l}{d}+3\cdot(\frac{l}{d})^3}$$

• Charakteristische Durchlaufwahrscheinlichkeit eines kronischen Rohres: P_12
• Länge: l
• Radius der kleineren Öffnung: r_1
• Radius der größeren Öffnung: r_2
  • Fall 1:

$$\frac{1}{P_{12}}=1+\frac{r_1+r_2}{4\cdot r_2^{2}}\cdot l$$

• Fall 2:

$$\frac{1}{P_{21}}=\frac{r_2^{2}}{r_1^{2}}+\frac{r_1+r_2}{4\cdot r_2^{2}}\cdot l$$

• Der Gesamtwiderstand ist durch die Summe der einzelnen Widerstände gegeben:
  • Nummerierung der Bauelemente: i
  • Querschnittsfläche des Eintritts der Anordnung: A_1
  • Querschnitssfläche des i-ten Bauelements: A_i
  • Charakteristische Gesamtdurchlaufwahrscheinlichkeit der Anordnung: P_1N
  • Charakteristische Durchlaufwahrscheinlichkeit der i-ten Querschnitssfläche: P_i

$$\frac{1}{A_1}\cdot \left(\frac{1}{P_{1N}}-1\right)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{A_i}\cdot \left(\frac{1}{P_{i}}-1\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{A_{i+1}}-\frac{1}{A_{i}}\right)\cdot \delta_{i,i+1}$$

• Für A_{i+1}<A_i:

$$\delta_{i,i+1}=1$$

• Für A_{i+1}⇐A_i:

$$\delta_{i,i+1}=0$$

• Für isotherme Bedingungen (gleiche thermische Geschwindigkeit v der gesamten Leistung) für den effektive charakteristische Strömungsleitwert: C_1N

$$\left(\frac{1}{C_{1N}}-\frac{4}{v\cdot A_{1}}\right)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{C_i}-\frac{4}{v\cdot A_{i}}\right)+\frac{4}{v}\cdot\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{A_{i+1}}-\frac{1}{A_{i}}\right)\cdot \delta_{i,i+1}$$

• Leckrate: Q_l [mbar*l/s]
• Druckanstieg: Delta p
• Volumen : V
• Zeitdifferenz: Delta t

$$Q_{l}=\frac{\Delta p\cdot V}{\Delta t}$$

• Leckrate der Desorption für Metall- und Glasoberflächen: Q_des
• Flächenbezogene Desorptionsrate des Werkstoffes: q_des
• Oberfläche des inneren Vakuumbehälters: A
• Startzeit: t_0

$$Q_{des}=q_{des}\cdot A\cdot \frac{t_0}{t}$$

• Leckrate der Desorption für Kunststoffe: Q_diff
• Flächenbezogene Desorptionsrate des Werkstoffes: q_diff
• Oberfläche der Kunststoffe: A_d

$$Q_{diff}=q_{diff}\cdot A_d\cdot \sqrt{\frac{t_0}{t}}$$

• Der Permeationsgasstrom ist proportional zu dem Druckgradienten: p_0/d
  • Wandstärke: d
  • Atmospährendruck/Außendruck: p_0
  • Materialabhängigen Permeationskonstanten: k_perm

$$k_{perm}\cdot Q_{perm}=k_{perm}\cdot A\cdot \frac{p_0}{d}$$

• Effektive Saugleistung: S_eff [l/s]
• Um ein bestimmtes effektives Saugvermögen zu gewährleisten, muss das Saugvermögen der Pumpe S entsprechend höher gewählt werden.

$$\frac{1}{S_{eff}}=\frac{1}{S}+\frac{1}{C_{Ges}}$$

• Um einen gewünschten Druck zu erreichen muss die effektive Saugleistung die Leckrate dementsprechend überbieten:

$$p=\frac{Q_l}{S_{eff}}$$

• Ein Gleichgewichtsdruck stellt sich ein, wenn ein Vakuumbehälter dauerhaft durch eine Pumpe gepumpt wird.
• Gleichgewichtsdruck p_gl stellt sich ein, wenn gilt:

$$Q_{l}=S\cdot p_{gl}$$

• Der Enddruck p(t) stellt sich nach einer bestimmten Zeit t ein. Diese Zeit hängt von verschiedenen Effekten ab.
• Vorrausgesetzt wird, dass der Endruck größer als der Basisdruck der Vakuumpumpe ist

$$p(t)\cdot S=Q{des}(t)+Q{diff}(t)+Q{perm}+Q{l}$$

• Die Zeitkonstante tau eines Vakuumsystems ist gegeben durch:

$$\tau=\frac{V}{S_{eff}}$$

• CF40 Flange
• Saugvermögen von S_m=40l/s

• CF40 Flange

Für die folgenden Berechnungen wird der “Knick” im Wegekreutz als Gerade betrachtet.

• CF40 Flange, Durchmesser des Rohres: d_{5-Wege-Kreutz}=38.4mm
• Länge: l_{5-Wege-Kreutz}=2*63mm
• Querschnittsfläche: $$A_{5-Wege-Kreutz}=\pi\cdot\left(d_{5-Wege-Kreutz}/2\right)^2$$
• Durchlaufwahrscheinlichkeit: $$P_{5-Wege-Kreutz}=\frac{14+4\cdot \frac{l_{5-Wege-Kreutz}}{d_{5-Wege-Kreutz}}}{14+18\cdot\frac{l_{5-Wege-Kreutz}}{d_{5-Wege-Kreutz}}+3\cdot\left(\frac{l_{5-Wege-Kreutz}}{d_{5-Wege-Kreutz}}\right)^3}$$
• Blendenleitwert der Eintrittsöffnung einer CF40 Flanges: $$C_{b=5-Wege-Kreutz}=\frac{v}{4}\cdot A_{5-Wege-Kreutz}$$
• Charakteristischer Strömungsleitwert: $$C_{k=5-Wege-Kreutz}=C_{b=5-Wege-Kreutz}\cdot P_{5-Wege-Kreutz}$$

• CF40 Flange, Durchmesser: d_{Schiebeventil}=40.1mm
• Länge: l_{Schiebeventil}=35mm
• Querschnittsfläche und Durchlaufwahrscheinlichkeit kann analog zum Fall des 5-Wege-Kreutzes berechnet werden.

• CF40 Flange, Durchmesser: d_{Einschweißflange}=38.4mm ???
• Länge: l_{Einschweißflange}=???mm
• Querschnittsfläche und Durchlaufwahrscheinlichkeit kann analog zum Fall des 5-Wege-Kreutzes berechnet werden.

• Es gilt A_{i+1}⇐A_i: $$\delta_{i,i+1}=0$$
• Effektiver charakteristischer Strömungsleitwert für isotherme Bedingung:
  • Einsetzten der 4 Komponenten
    1. Einschweißflange (Index 1)
    2. Schiebeventil (Index 2)
    3. 5-Wege-Kreutz (Index 3)
    4. IGP (Index 4)

$$C_{eff.=Vakummerkammer}=\left(\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{C_i}-\frac{4}{v\cdot A_{i}}\right)+\frac{4}{v\cdot A_{1}}\right)^{-1}=\left(\left(\frac{1}{C_{k=Einschweißflange}}-\frac{4}{v\cdot A_{Einschweißflange}}\right)+\left(\frac{1}{C_{k=Schiebeventil}}-\frac{4}{v\cdot A_{Schiebeventil}}\right)+\left(\frac{1}{C_{k=Schiebeventil}}-\frac{4}{v\cdot A_{5-Wege-Kreutz}}\right)+\left(\frac{1}{S_m}-\frac{4}{v\cdot A_{IGP}}\right)+\frac{4}{v\cdot A_{5-Wege-Kreutz}}\right)^{-1}$$

Im Ultrahochvakuumbereich (p~1*10^(-8)mbar) treten Molekularbewegungen ohne Wechselwirkungen der Moleküle auf, daher kann man für die Strömung den Leitwert L_bl einer Blende unabhängig vom Druck berechnen [Literatur]:

• Es sind in jeden der drei Wärmeschilden acht Entlüftungstaschen eingefräst, diese lassen das Restgas durchströmen
• Diese Entlüftungstaschen fungieren als Blenden und sind somit ein Widerstand R_bl für das evakuierende Restgases
• Durchgangsfläche der Blende: A_{bl} ~ 1*10^(-4)m^2
• Länge der Fläche: C_{b=bl}=???
• Mittlere Gasgeschwindigkeit: v_mittel ~ 463 ms^−1 nochmal nachrechnen

$$C_{b=bl}=\frac{1}{R_{bl}}=\frac{\nu_{mittel}}{4}\cdot A_{bl}=11.6 ls^{-1}$$ $$C_{k=bl}=C_{b=bl}\cdot P_{k=bl}$$

• Unter der Annahme, dass es in der gesamten Vakuumkammer ein gleichmäßiger Druck herscht, kann man näherungsweise annehmen, dass die 8 Blenden eines Wärmeschildes zu einer großen Blende (parallel) zusammengefügt werden können:

$$C_{k=Ges-bl}=8\cdot C_{k=bl}$$

• Sodass wir die jeweiligen effektiven charakteristischen Strömungsleitwerte in den jeweiligen Wärmeschilden mit m=1,2,3 folgendermaßen berechnen können:

$$C_{eff=m-Wärmeschilde}=C_{eff.=Vakummerkammer}+\left(\sum_{m=1}^n\left(\frac{1}{C_{m-Wärmeschilde}}-\frac{4}{v\cdot \left(8\cdot A_{bl}\right)}\right)+\frac{4}{v\cdot A_{bl}}\right)^{-1}$$ Als Anfangsöffnung A_{bl} oder A_CF?

• Durchmesser: d_Lüftungsloch= 4,2 (+/-0,2) mm
• Kreisfläche: A_Lüftungsloch= 27,783 mm^2 = 2,7793*10^-5m^2
• Länge: l_Lüftungsloch= (Außendurchmesser des Resonators/2)-(Kernbohrungsdurchmesser/2)= (91,7(+/-0,1)mm /2)- (13(+/-0,2)mm /2)= 39,35 mm

• Querschnittsfläche: $$A_{Lüftungsloch}=\pi\cdot\left(d_{Lüftungsloch}/2\right)^2$$
• Durchlaufwahrscheinlichkeit: $$P_{Lüftungsloch}=\frac{14+4\cdot \frac{l_{Lüftungsloch}}{d_{Lüftungsloch}}}{14+18\cdot\frac{l_{Lüftungsloch}}{d_{Lüftungsloch}}+3\cdot\left(\frac{l_{Lüftungsloch}}{d_{Lüftungsloch}}\right)^3}$$
• Blendenleitwert des Eintrittsöffnung des Lüftungslochs: $$C_{b=Lüftungsloch}=\frac{v}{4}\cdot A_{Lüftungsloch}$$
• Charakteristischer Strömungsleitwert: $$C_{k=Lüftungsloch}=C_{b=Lüftungsloch}\cdot P_{Lüftungsloch}$$

• Druchmesaser: d_Kernbohrung= 13 (+/-0,2) mm
• Länge: d_Kernborhung= 480mm

• Für die Kalkulation der Leckrate innerhalb des Spacers wird angenommen, dass nur die Oberflächen von dem 3. Wärmeschildes, der Zerodurstangen und der Spacer zu einer Leckrate führen:

$$Q_{des=Spacer}=Q_{des=Wärmeschild}+Q_{des=Lüftungsloch}+Q_{des=Kernborhungsloch}+2\cdot Q_{des=Zerodurstangen}$$:

• Leckrate Q_l der Vakuumkammer gemessen am Vakuumsensor?

Wir nehmen an, dass der zu evakuierende Gasstrom ausgehend von oberflächenabsorbierten Molekülen an der Vakuumkammer q_Vak höher ist als der inneren Wärmeschilde q_Schild. Der Grund für die Annahme ist, dass die Vakuumkammeroberfläche rauer ist gegenüber der elektropolierten Oberfläche der Wärmeschilde, sodass die effektive Fläche größer ist: $$q_{Vak}>q_{Schild}$$

• Temperatur beeinflusst die Richtung des Gasdruckes?

Druck innerhalb des Spacers: $$p_{Spacer}=\frac{Q_{des=Spacer}}{S_{eff=Spacer}}$$

• Messung des Restdruckes über Zeit mit out-of-loop Vakuumdrucksensors
• Messung der Spannung der IGP